3.Recíproca o inversa

Recíproca o inversa

Consideremos la función y = 2x - 3, si nos preguntamos ¿cuál es el origen de 5?, es decir, ¿qué número real tiene por imagen 5? Para obtener la respuesta buscaremos un x tal que 2x - 3 = 5, 2x = 5 + 3, 2x = 8,  x = 4; luego 4 es el origen de 5.. También podemos preguntarnos cual es el origen de un número real y cualquiera. Procediendo como en el caso anterior, buscamos el número o los números x tales que 2x - 3 = y, luego 2x = y + 3, x = . La última expresión relaciona cada número real y con su origen x, por tanto establece una relación de dependencia entre un número real y otro x, es decir, es la expresión de una función  en la que la variable independiente está representada por y, y la dependiente por x.
Como habitualmente los papeles de x e y están cambiados podemos cambiar la expresión anterior por y = , que nos expresa la relación de dependencia de número real x con su origen y. Se denomina función recíproca o inversa de una función f(x) a aquella función que denotamos por f -1(x) tal que al componerla con f(x) da de resultado la función identidad i(x). Por tanto f -1(x) es aquella que al actuar sobre un número real nos da por resultado el origen de ese número real a través de f(x). Teniendo en cuenta lo anterior si deseamos calcular f -1 (x) se procede a dar los siguientes pasos: 1) Se despeja x en la expresión de la función y = f(x). 2) Se intercambian x por y e y por x. Ejemplo: y =, elevando los dos miembros al cuadrado se obtiene y2 = x + 4, x = y2 - 4, es decir, y = x2 - 4 es la expresión de la inversa o recíproca de f(x); f -1(x) = x2 - x.
Algunas consideraciones respecto a f -1(x): a) f(x) y f -1(x) conmutan respecto de la composición, es decir, f -1 o f = f o f -1. b) f -1(x) se puede calcular siempre, aunque sólo si f(x) es inyectiva (no hay dos números reales con la misma imagen) entonces f -1(x) es una función. Si f(x) no es inyectiva f -1(x) es una correspondencia. c) Las gráficas de f(x) y f -1(x) son simétricas respecto de la recta y = x, bisectriz de los cuadrantes 1º y 3º (ver la gráfica de al lado). bibliografia -http://olmo.pntic.mec.es/~agog0016/funcione/paginas/composic.htm#pr_compo